Центральные и нецентральные поверхности.

Раздел III

Общая теория поверхностей второго порядка

Разглядим многочлен степени 2 от 3-х неведомых

(1)

Инварианты общих ортогональных преобразований ПДСК в пространстве многочлена (1)

Инварианты поворота и переноса

Инварианты поворота

Аффинные характеристики поверхностей второго порядка.
Скрещение поверхностей и прямой.

Разглядим поверхность второго порядка

(2)

(3)

Разглядим поверхность с уравнением (2) и прямую в пространстве

(4)

Разглядим разные случаи скрещения прямой и поверхности:
решаем: (4) подставляем Центральные и нецентральные поверхности. в (2), получим:

(5)

(6)

Найдем точки скрещения, т.е. решения уравнения (5)

I. P=0 (5)-> (5.1)

(7)

Если ровная (4) удовлетворяют условию (7), то она именуется прямой асимптотического направления относительно поверхности с уравнением (2).

Уравнение (5), разные решения

I.1. Q≠0

В данном случае ровная (4) пересекает поверхность (2) в одной точке.

I.2. Q=0 R≠0

(5.1)->R=0 (противоречие)

т.е. ровная не имеет Центральные и нецентральные поверхности. точек скрещения с поверхностью, если она имеет асимптотическое направление (удовл (7)), то она является асимптотой.

I.3. Q=R=0

ур-е (5)-> , т.е. - решение (5)

все точки лежащие на прямой являются точками скрещения с поверхностью, т.е. ровная (4) полностью лежит на поверхности и она именует прямолинейной образующей поверхности.

Конус асимптотических направлений и асимптотический конус поверхностей Центральные и нецентральные поверхности..

Пусть все такие прямые проходят через т. М0.

Из (4)

-> в (7) и делим на t2:

(8)

(8) – уравнение конической поверхности второго порядка с верхушкой М0.

Определение. Коническая поверхность (8) именуется конусом асимптотических направлений поверхности с уравнением (2).

Неважно какая ровная асимптотического направления (удовл (7)), проходящая через т.М0 лежит на этом конусе.

Определение. Если Центральные и нецентральные поверхности. т.М0 совпадает с центром поверхности второго порядка, то конус асимптотических направлений (8) именуется асимптотическим конусом поверхности второго порядка.

II. P≠0 прямой неасимтотического направления относительно поверхности

II.1.

тогда ровная (4) пересекает поверхность в 2-ух точках и образует хорду

уравнение (5) имеет 2 корня

II.2.

Ровная является касательной, она касается поверхности второго порядка.

II.3.

Ровная не имеет точек Центральные и нецентральные поверхности. скрещения с поверхностью второго порядка.

Касательная плоскость к поверхности второго порядка

Разглядим поподробнее случай II.2.

Пусть - точка касания => - принадлежит поверхности (2)

(*)

Для касательной прямой должно удовлетворять (*)

Из (4), пусть

--> (*)

(*)=> (**)

=>

(**)=> (9)

Уравнению (9) должна удовлетворять неважно какая ровная, касающаяся поверхности в т.М0.

(x;y;z) – это координаты текущей точки прямой, касающейся поверхности в т Центральные и нецентральные поверхности..М0, т.к. это уравнение плоскости => все такие прямые укладываются в эту плоскость, она именуется касательной плоскостью поверхности в т.М0.

Центр поверхности второго порядка.

Центральные и нецентральные поверхности.

Определение. Точка места именуется центром поверхности второго порядка, если неважно какая хорда поверхности, проходящая через эту точку, делится в этой точке Центральные и нецентральные поверхности. напополам.

Аксиома 1.Точка М0(x0;y0;z0) – центр поверхности с уравнением (2) производятся условия , ,

(10)

Док-во:

|=> Пусть M0 – центр

M1 M2 – хорда (4) и (2)

M1 M2

M0 – середина хорды M1 M2=>

t1 и t2 - корешки уравнения (5)

по т. Виета Q=0 (т.к. )

(*)

Разглядим 3 линейно независящих неасимптотических вектора

; ; и разглядим хорды этих Центральные и нецентральные поверхности. направлений, проходящие через т.M0, для их всех производится равенство (*)

(**)

Вопрос: как отыскать F10, F20, F30? (**) – система однородных линейных уравнений на F10, F20, F30. Разглядим определитель этой системы

, т.к. 3 вектора л/н,

=> по т.Крамера получаем, что

-- единственное решение.

<=| Если производится (10), докажем, что М0 – центр.

Пусть производится (10) для точки М0

Разглядим Центральные и нецентральные поверхности. хорды, проходящие через т.M0=>Q=0=(т.Виета. ур.(5))=>

=> ; ; => M0 – Центр.

Поверхность, которая имеет единственный центр, именуется центральной.

(10):

Пусть

Тогда система (10) по аксиоме Крамера имеет единственное решение, поверхность имеет один центр. Если , то поверхность является нецентральной. Такая поверхность может не иметь центра, иметь прямую центров, иметь плоскость центров Центральные и нецентральные поверхности..


centralnoj-psihologo-mediko-pedagogicheskoj-komissii-murmanskoj-oblasti.html
centri-finansovoj-otvetstvennosti-cfo.html
centri-kulturno-bitovogo-obsluzhivaniya.html