Цепные дроби - реферат

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1 . Представление оптимальных чисел цепными дробями

§2. Подходящие дроби. Их характеристики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава II. Нескончаемые ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§ 1. Представление реальных иррациональных чисел правильными нескончаемыми цепными дробями

1.1. Разложение реального иррационального числа в правильную нескончаемую цепную дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Сходимость правильных нескончаемых цепных дробей. . . . .

1.3. Единственность представления реального иррационального числа правильной нескончаемой цепной дробью

§2. Приближение реального Цепные дроби - реферат числа оптимальными дробями с данным ограничением для знаменателя

2.1. Оценка погрешности при подмене реального числа его подходящей дробью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Приближение реального числа подходящими дробями

2.3. Аксиома Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Подходящие дроби как лучшие приближения

§3. Квадратические иррациональности и повторяющиеся цепные дроби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§4. Представление реальных чисел цепными дробями вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Применяемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Введение

Целью моей курсовой работы является исследование теории Цепные дроби - реферат цепных дробей. В ней я попробую раскрыть характеристики подходящих дробей, особенности разложения реальных чисел в некорректные дроби, погрешности, которые появляются в итоге этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей Цепные дроби - реферат встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер 1-ый выложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению нескончаемых произведений, отдал принципиальное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В Цепные дроби - реферат.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие принципиальные результаты этой теории принадлежат французскому арифметику Лагранжу, который отыскал способ приближенного решения при помощи цепных дробей дифференциальных уравнений.

Глава I. Правильные конечные цепные дроби.

§1. Представление оптимальных чисел цепными дробями.

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел , именуется общим делителем этих чисел Цепные дроби - реферат. Общий делитель этих чисел именуется их большим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть - рациональное число, при этом b >0. Применяя к a и b метод Евклида для определения их большего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

где неполным личным поочередных делений соответствуют остатки Цепные дроби - реферат с условием b> > >…> >0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

из которой поочередной подменой каждой из дробей и т.д. ее подходящим выражением из последующей строчки выходит представление дроби в виде:

Такое выражение именуется правильной (конечной) цепной либо правильной непрерывной дробью, при всем этом подразумевается, что – целое число, а Цепные дроби - реферат , …, - натуральные числа.

Имеются разные формы записи цепных дробей:

Согласно последнему обозначению имеем

Числа , , …, именуются элементами цепной дроби.

Метод Евклида дает возможность отыскать представление (либо разложение) хоть какого оптимального числа в виде цепной дроби. В качестве частей цепной дроби получаются неполные личные поочередных делений в системе равенств Цепные дроби - реферат (1), потому элементы цепной дроби именуются также неполными личными. Не считая того, равенства системы (2) демонстрируют, что процесс разложения в цепную дробь состоит в поочередном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сопоставлению с первой, потому что она применима к разложению в непрерывную дробь не только Цепные дроби - реферат лишь оптимального, да и хоть какого реального числа.

Разложение оптимального числа имеет, разумеется, конечное число частей, потому что метод Евклида поочередного деленияa наb является конечным.

Понятно, что любая цепная дробь представляет определенное рациональное число, другими словами равна определенному оптимальному числу. Но появляется вопрос, не имеются ли разные Цепные дроби - реферат представления 1-го и такого же оптимального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если востребовать, чтоб было .

Аксиома . Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному оптимальному числу, но при условии, что .

Подтверждение: 1) Заметим, что при отказе от обозначенного условия единственность представления отпадает. По правде, при :

так что представление Цепные дроби - реферат можно удлинить:

к примеру, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Принимая условие , можно утверждать, что целая часть цепной дроби равна ее первому неполному личному . По правде:

1. если n= 1, то

2. если n= 2, то ; потому

3. если n> 2, то

=

,

где >1, т.к.

Потому и тут . Докажем то, что рациональное число совершенно точно представляется цепной дробью , если .

Пусть с условием Цепные дроби - реферат , . Тогда , так что . Повторным сопоставлением целых частей получаем , а как следует и т.д.. Если , то в продолжении обозначенного процесса получим также . Если же , к примеру , то получим , что нереально.

Аксиома подтверждена.

Вкупе с тем мы установили, что при соблюдении условия меж оптимальными числами и конечными цепными Цепные дроби - реферат дробями существует взаимнооднозначное соответствие.

Замечания:

1. В случае разложения правильной положительной дроби 1-ый элемент , к примеру, .

2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный символ дроби всегда относится к числителю) 1-ый элемент будет отрицательным, другие положительными, потому что целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как обычно, положительна.

Пример: , а Цепные дроби - реферат потому что , то .

3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из 1-го элемента.

Пример: 5=(5); .

§2. Подходящие дроби. Их характеристики.

Задачке разложения обычной дроби в непрерывную дробь противоборствует оборотная задачка – воззвания либо свертывания цепной дроби в ординарную дробь .

При всем этом главную роль играют дроби вида:

либо Цепные дроби - реферат

которые именуются подходящими дробями данной непрерывной дроби либо соответственного ей числа .

Заметим, что = = . Считается, что подходящая дробь имеет порядок k .

До того как приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что перебегает в , если в первой поменять выражением .

Имеем ,

,

, …,

при всем этом принимается, что , , , , , и т.д..

Закономерность, которую мы Цепные дроби - реферат замечаем в построении формулы для (ее числителя и знаменателя ), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе отk к (k +1).

Потому, на основании принципа математической индукции, для хоть какого k , где , имеем

(1),

при этом (2)

(3)

Дальше, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем подразумевать их форму .

Соотношения Цепные дроби - реферат (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сходу видно, что при увеличенииk они растут. Последовательное вычисление числителей и знаменателей подходящих дробей по формулам (2) и (3) комфортно располагать по схеме:

Пример: Отыскать подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).

2 2 1 3 1 1 4 3
2 5 7 26 33 59 269 866
1 2 3 11 14 25 114 367

Подходящие дроби ( )равны соответственно ; ; ; ; ; ; ; .

Фактически нахождение Цепные дроби - реферат неполных личных и подходящих дробей комфортно соединить в одну короткую схему, которую приведем для =(2, 3, 1, 4, 2)

.

А на данный момент разглядим ряд параметров подходящих дробей.

1. Аксиома: При k =1, 2, …, n производится равенство

Подтверждение: Проведем индукцию по k :

При k =1 равенство справедливо, потому что .

Пусть это равенство правильно при неком k Цепные дроби - реферат=n ( ).

Докажем справедливость равенства при k=n +1.

, другими словами равенство правильно при k=n +1.

Согласно принципу полной математической индукции равенство правильно для всех k ( ).

2. Аксиома: Числитель и знаменатель хоть какой подходящей дроби – взаимно обыкновенные числа, другими словами всякая k –подходящая дробь несократима.

Подтверждение: Докажем это свойство способом от Цепные дроби - реферат неприятного. По предшествующему свойству имеем .

Пусть , другими словами , тогда из равенства следует, что делится на без остатка, что нереально. Означает, наше допущение ошибочно, а правильно то, что требовалось обосновать, другими словами .

3. Аксиома: При

1) ( )

2) ( )

Подтверждение: 1-ое соотношение можно получить из равенства , доказанного выше, методом деления обеих частей на . Получаем

, что и требовалось Цепные дроби - реферат обосновать.

Докажем 2-ое соотношение.

.

Аксиома подтверждена стопроцентно.

4. Аксиома: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют однообразно вырастающую последовательность, другими словами 1= .

Подтверждение: , , так что и положительны.

Соотношение ( ) (*) указывает, что и все последующие знаменатели , , …, положительны. При , так как тогда , из (*) получаем

, что и требовалось обосновать.

5. Аксиома: Нечетные подходящие дроби Цепные дроби - реферат образуют вырастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:

;

.

Две подходящие дроби и , у каких номер отличается на единицу, будем именовать примыкающими .

6. Аксиома: Из 2-ух примыкающих подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.

Подтверждение: По уже доказанному выше свойству имеем:

.

Если k –четное, то

Если k –нечетное, то

Означает Цепные дроби - реферат, из 2-ух примыкающих дробей и четная всегда больше нечетной, что и требовалось обосновать.

7. Аксиома: Расстояние меж 2-мя примыкающими подходящими дробями .

Подтверждение: Потому что , то , что и требовалось обосновать.

Глава II. Нескончаемые цепные дроби.

§1. Представление реальных иррациональных чисел правильными нескончаемыми цепными дробями.

1.1 Разложение реального иррационального числа в правильную нескончаемую цепную дробь.

В Цепные дроби - реферат предшествующей главе мы разглядели, как в процессе поочередного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь разлагается в конечную непрерывную дробь.

=( )

(1)

и, напротив, свертывание таковой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.

Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к хоть какому реальному числу.

Для иррационального числа обозначенный Цепные дроби - реферат процесс должен быть нескончаемым, потому что конечная цепная дробь равна оптимальному числу.

Выражение (где , ) (2)

возникающее в таком процессе либо данное формально, мы будем именовать правильной нескончаемой цепной , либо непрерывной дробью , либо дробью нескончаемой длины и обозначать коротко через ( ), а числа – ее элементами либо неполными личными.

Отметим, что разложение может Цепные дроби - реферат быть исключительно в единственном виде, потому что процесс выделения целой части – процесс конкретный.

Разглядим пример разложения иррационального числа .

Пусть . Выделим из его целую часть. =3, а дробную часть –3, которая меньше 1, представим в виде , где .

Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем:

;

;

.

Если тормознуть на этом Цепные дроби - реферат шаге, то можно записать:

С другой стороны, из формулы для видно, что =3+ . Потому , вследствие чего, начиная отныне, неполные личные станут повторяться.

Нескончаемая непрерывная дробь, в какой определенная последовательность неполных личных, начиная с некого места, временами повторяется, именуется повторяющейся непрерывной дробью .

Если, а именно, периодическое повторение начинается с первого звена Цепные дроби - реферат, то цепная дробь именуется чисто повторяющейся, в неприятном случае – смешанной повторяющейся.

Чисто повторяющаяся дробь записывается в виде , а смешанная повторяющаяся в виде .

Итак, разлагается в смешанную повторяющуюся дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) либо (3, (3, 6)).

В общем случае разложения реального иррационального числа поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при всем этом в процессе выделения целой Цепные дроби - реферат части после k –го шага, будем иметь:

так что

.

Числа именуются остаточными числами порядкаk разложения . В формуле (4) имеем кусочек разложения до остаточного числа .

Для нескончаемой цепной дроби (2) можно выстроить нескончаемую последовательность конечных непрерывных дробей.

Эти дроби именуют подходящими дробями . Закон образования соответственных им обычных дробей будет таковой же, как и Цепные дроби - реферат для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, потому что этот закон зависит только от неполных личных и совсем не находится в зависимости от того, является ли последним элементом либо за ним следует еще элемент . Потому для их сохранятся также другие характеристики, которые выводятся из закона образования Цепные дроби - реферат числителей и знаменателей подходящих дробей.

А именно, мы имеем:

1) , при этом ;

2) , откуда следует несократимость подходящих дробей ;

3) .

Сравним сейчас подходящую дробь и кусочек разложения до остаточного числа . Имеем

,

откуда видно, что вычисление по формально делается таким же образом, как вычисление по с тем только различием, что в первом случае заменяется на Цепные дроби - реферат , а во 2-м заменяется на . Потому на основании формулы можно прийти к выводу о справедливости последующего принципиального соотношения

. (5)

По этой причине мы пишем также , хотя не является тут целым положительным числом.

С помощью формулы (5) можно вывести последующую аксиому и расположении подходящих дробей разложения .

Аксиома: Действительное число всегда находится меж 2-мя примыкающими Цепные дроби - реферат подходящими дробями собственного разложения, при этом оно поближе к следующей, чем к предшествующей подходящей дроби.

Подтверждение: Из формулы (5) следует

Но , , так что

1) ( ) и ( ) имеют однообразный символ, а это означает, что находится меж и ;

2) , другими словами поближе к , чем к .

Аксиома подтверждена.

Потому что , то , и т.д.; отсюда приходим к Цепные дроби - реферат последующему заключению о обоюдном расположении подходящих дробей:

1) больше всех подходящих дробей нечетного порядка и меньше всех подходящих дробей четного порядка;

2) подходящие дроби нечетного порядка образуют вырастающую последовательность, а четного порядка – убывающую (в случае иррационального
обозначенные последовательности являются нескончаемыми), другими словами

(в случае оптимального ).

———— —— ———— —— ———————

Беря во внимание Цепные дроби - реферат то, что при , вследствие чего , перебегаем к предстоящему выводу, что в случае иррационального сегменты , , … образуют стягивающуюся последовательность, которая, как понятно, обязана иметь единственную общую точку, являющуюся общим пределом последовательностей , , … и , , … . Но потому что принадлежит всем секторам последовательности, то и совпадает с обозначенной точкой, так что .

Итак, мы имеем последующий Цепные дроби - реферат принципиальный итог:

нескончаемая последовательность подходящих дробей , которая появляется при разложении иррационального , сходится к , колеблясь около него. Либо: иррациональное действительное равно лимиту последовательности подходящих дробей собственного разложения в нескончаемую непрерывную дробь (процессом выделения целой части).

1.2 Сходимость правильных безграничных цепных дробей.

Сейчас покажем, что сходящейся является последовательность подходящих дробей не только лишь таковой нескончаемой Цепные дроби - реферат непрерывной дроби, которая появляется при разложении иррационального числа , да и хоть какой нескончаемой непрерывной дроби , где , а - произвольно избранные целые положительные числа.

Но для этого мы поновой исследуем обоюдное размещение подходящих дробей.

С этой целью разглядим формулы:

(1) и (2),

которые справедливы для хоть какой нескончаемой непрерывной дроби Цепные дроби - реферат.

1. Формула (1) указывает, что неважно какая подходящая дробь четного порядка больше 2-ух примыкающих подходящих дробей, у каких порядок на единицу меньше либо больше, чем у нее, другими словами и . Согласно этому и размещены слева от , и – слева от и т.д..

2. Формула (2) указывает, что расстояние меж примыкающими подходящими дробями при увеличенииk убывает. Вправду Цепные дроби - реферат, потому что , то

3. Согласно этому свойству поближе к , чем , а потому что и находятся слева от , то <.

———— ——— ——— ———————

Из этого следует, что подходящая дробь , которая, как и , размещена справа от , поближе к , чем к , другими словами <.

Подходящие дроби последующих порядков размещаются таким же образом.

Итак, подходящие дроби нечетного порядка Цепные дроби - реферат растут с ростом порядка, а подходящие дроби четного порядка убывают с ростом порядка; при всем этом все подходящие дроби нечетного порядка меньше всех подходящих дробей четного порядка, другими словами < <…< <…< <…< < при любыхk и .

Потому что , то пары подходящих дробей , , … образуют стягивающуюся последовательность отрезков, которая обязана иметь единственную общую точку Цепные дроби - реферат, являющуюся общим пределом последовательностей , , … и , , …. Обозначим этот предел за , имеем , при этом, разумеется, для любогоk , другими словами находится меж хоть какими 2-мя примыкающими подходящими дробями.

Как следует, подходящие дроби хоть какой нескончаемой непрерывной дроби имеют некий предел . Этот предел принимается в качестве значения нескончаемой непрерывной дроби. Молвят, что нескончаемая Цепные дроби - реферат непрерывная дробь сходится к либо представляет число . Можно записать = , подразумевая при всем этом, что =.

1.3 Единственность представления реального иррационального числа правильной нескончаемой цепной дробью.

Исходя из результатов, которые мы получили выше, можно утверждать, что для каждого реального иррационального существует представление в виде нескончаемой непрерывной дроби. Таким представлением является разложение Цепные дроби - реферат в нескончаемую непрерывную дробь, потому что предел подходящих дробей последней равен как раз .

Появляется вопрос, сколько представлений реального иррационального в виде нескончаемых непрерывных дробей существует вообщем? Покажем, что только одно.

Другими словами: представление реального иррационального в виде нескончаемой непрерывной дроби всегда является разложением при помощи выделения целой части. Докажем Цепные дроби - реферат это принципиальное утверждение.

Пусть действительное иррациональное представлено нескончаемой непрерывной дробью , другими словами = . Назовем нескончаемую непрерывную дробь остатком данной дроби порядка k . Потому что неважно какая нескончаемая непрерывная дробь представляет некое действительное число, то это утверждение относится также и к остатку . Обозначим его через , = , другими словами = . Аналогично = , другими словами =.

Из Цепные дроби - реферат соотношения получаем , другими словами = (1).

Потому что при , то все >1, а <1; как следует, , другими словами (2). Но потому что , то и, ввиду равенства (1) равно остаточному числу второго порядка для , другими словами . Тогда дальше , а и т.д.. Вообщем из следует , а .

Элементы данной нескончаемой непрерывной дроби получаются из его значения поочередным выделением Цепные дроби - реферат целой части, что и требовалось обосновать.

Вкупе с тем мы установили, что остаток нескончаемой непрерывной дроби = порядкаk +1 совпадает с ее остаточным числом порядка k +1 .

Исследования этого параграфа приводят нас к последующему основному результату: каждое иррациональное действительное число единственным образом представляется нескончаемой цепной дробью вида и, напротив, каждой нескончаемой цепной Цепные дроби - реферат дроби соответствует единственное иррациональное действительное число, которое она представляет. Потому огромное количество всех реальных чисел взаимно совершенно точно отображается на огромном количестве всех непрерывных дробей (если договориться, что для конечных непрерывных дробей берется последнее ). При всем этом оптимальным числам соответствуют конечные непрерывные дроби, а иррациональным – нескончаемые дроби.

§2. Приближение реального Цепные дроби - реферат числа оптимальными дробями с данным ограничением для знаменателя.

Оптимальные числа образуют счетное огромное количество, в то время как огромное количество иррациональных чисел несчетно. В этом смысле можно сказать, что основную массу всех реальных чисел составляют иррациональные числа. Применение иррациональных чисел в практике обычно осуществляется подменой данного иррационального числа неким Цепные дроби - реферат оптимальным числом, не достаточно отличающимся в границах требуемой точности от этого иррационального числа. При всем этом обычно стараются избрать рациональное число может быть обычным, другими словами в виде десятичной дроби с маленьким числом символов после запятой либо в виде обычной дроби со сравнимо маленьким знаменателем.

Для массивных оптимальных чисел, другими Цепные дроби - реферат словами чисел с большенными знаменателями, также время от времени появляются задачки, связанные с необходимостью отыскания не плохих оптимальных приближений, понимая под этим отыскание оптимальных чисел со сравнимо маленькими знаменателями, не достаточно отличающимися от данных чисел.

Цепные дроби дают очень удачный аппарат для решения задач такового рода. При помощи цепных дробей Цепные дроби - реферат удается подменять действительные числа оптимальными дробями так, что ошибка от таковой подмены мала по сопоставлению со знаменателями этих оптимальных чисел.

2.1. Оценка погрешности при подмене реального числа его подходящей дробью.

Аксиома 1: Для всех 2-ух примыкающих подходящих дробей и к реальному числу имеет место неравенство , и если , то .

Подтверждение Цепные дроби - реферат: Если , подходящие дроби и , из которых одна четная, а другая – нечетная, лежат по различные стороны от (потому что четкое значение непрерывной дроби находится меж 2-мя примыкающими подходящими дробями), и потому расстояние от до хоть какой из их меньше длины интервала, образованного этими 2-мя подходящими дробями, другими словами

.

Если = , то .

Аксиома 2: Для Цепные дроби - реферат хоть какой подходящей дроби к реальному числу справедливо неравенство:

Подтверждение: Если = , то получаем, что левая часть неравенства равна нулю, в то время как правая часть всегда больше нуля. Потому при = неравенство производится. Пусть , другими словами существует подходящая дробь .

Приk >0 и согласно предшествующей аксиоме имеем:

.

Раздельно разглядим случай k =0. Если Цепные дроби - реферат , то

.

Аксиома 3: Если , то .

Из теорем 1-3 получаем последующие оценки погрешности:

, ,

из которых 1-ая является более четкой, а последняя – более грубой.

2.2. Приближение реального числа подходящими дробями.

Решение намеченной цели начнем с рассмотрения нескольких примеров.

Пример 1: Разглядим задачку, аналогичную той, с которой повстречался голландский математик Христиан Гюйгенс (1629-1695) при Цепные дроби - реферат построении модели галлактики при помощи набора зубчатых колес и которая привела его к открытию ряда принципиальных параметров непрерывных дробей.

Пусть требуется, чтоб отношение угловых скоростей 2-ух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно .

Потому что угловые скорости колес назад пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов колес I и II Цепные дроби - реферат должно быть равно . Если – несократимая дробь с огромным числителем и знаменателем, к примеру, , то для четкого решения задачки появляется техно трудность производства колес с огромным количеством зубцов.

Задачку можно на техническом уровне упростить с помощью колес с наименьшим количеством зубцов. При всем этом принципиально, чтоб отношение этих чисел было, по Цепные дроби - реферат способности, поближе к данному отношению. Неплохого ублажения поставленных требований можно достигнуть, если пользоваться непрерывными дробями.

Пусть, к примеру, поставлено требование заменитьN иn наименьшими числами и так, чтоб и чтоб отношение было, по способности, поближе к .

Применяя аппарат цепных дробей, можем дать последующее решение этой задачки: разлагаем в непрерывную Цепные дроби - реферат дробь и берем ее подходящую дробь с большим знаменателем, не превосходящим 100.

Получаем, =(1, 2, 3, 7, 8, 2)

Составляя схему, находим:

1 2 3 7 8 2
1 3 10 73 594 1261
1 2 7 51 415 881

Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь . При всем этом допущенная погрешность , другими словами очень малозначительна.

Ответ: .

Для иррационального по существу может быть только приближенное решение задачки.

Пример 2: Как мы уже обусловили ранее . Вычислим с точностью до Цепные дроби - реферат 0,001.

Для решения придется отыскать такую подходящую дробь разложения , чтоб .

Создадим это, используя схему:

3 3 6 3
3 10 63 199
1 3 19 60

Разумеется, нам довольно взять , потому что 19·60>1000. Это значение будет равно с точностью до 0,001, при этом с недочетом, потому что – подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить в виде десятичной дроби, при этом имеем право Цепные дроби - реферат взять 3 знака после запятой, потому что является приближенным значением для с точностью до 0,001. Получаем (мы округляем по излишку, потому что является приближенным значением с недочетом, но, не можем сейчас сказать, будет ли 3,316 приближенным значением с недочетом либо излишком).

Решенные задачки в более общем виде формулируются так:

1) Отыскать рациональное приближение Цепные дроби - реферат к реальному со знаменателем в виде более близкой к подходящей дроби. Для этого нужно взять подходящую дробь для с большим знаменателем, не превосходящим n .

2) Отыскать рациональное приближение к реальному числу с может быть наименьшим знаменателем так, чтоб погрешность не превосходила (другими словами с точностью до ). Для этого, пользуясь аппаратом Цепные дроби - реферат цепных дробей, находим подходящую дробь с минимальным знаменателем так, чтоб .

2.3. Аксиома Дирихле.

Выше мы отыскали оценку погрешности, возникающей при подмене хоть какого реального числа оптимальными дробями определенного типа, а конкретно: подходящими дробями.

А на данный момент разглядим некие сравнимо обыкновенные результаты, показывающие как обстоит дело с приближением реальных чисел оптимальными числами Цепные дроби - реферат, не предрешая заблаговременно, что эти оптимальные числа будут подходящими дробями.

Пусть – случайное действительное число. Из теории десятичных дробей следует существование оптимального числа такового, что . поставим вопрос о способности таких приближений оптимальными числами , при которых точность приближения будет оценена не величиной , а величиной, в раз наименьшей, другими словами Цепные дроби - реферат вопрос о нахождении оптимальных чисел таких, что , где – хоть какое заблаговременно положительное число.

К примеру, можно поставить задачку нахождения такового оптимального приближения к , чтоб точность приближения была в 1000 либо в 1000000 раз наилучшей, чем величина, оборотная знаменателю. Это соответствует выбору =1000 либо =1000000. оказывается, что вроде бы велико ни было , можно отыскать рациональную дробь Цепные дроби - реферат , приближающую с точностью до , при этом и это является самым увлекательным, дробь мы можем избрать так, что .

Аксиома Дирихле: Пусть и – действительные числа; существует несократимая дробь , для которой ,

(либо: существует такая пара взаимно обычных целых чиселa и b , что , ).

Подтверждение: Аксиому просто обосновать при помощи аппарата цепных дробей.

Пусть Цепные дроби - реферат подходящая дробь числа ; выберем больший из знаменателей , не превосходящий , другими словами наибольшее k , чтоб и положим = . Разглядим два варианта:

1) не является последним знаменателем, другими словами существует такое, что < . Тогда при a = и b = имеем:

2) – знаменатель последней подходящей дроби разложения , другими словами = . Тогда при a = , b = , имеем:

.

Аксиома подтверждена Цепные дроби - реферат.

Сам Дирихле отдал другое подтверждение, использовав в нем принцип, который носит сейчас имя Дирихле: при распределенииN объектов междуN -1 ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это подтверждение.

Пусть , разглядим совокупностьt +2 чисел, состоящую из 1 и значений дробных частей для x =0, 1, …, t (при этом = - , ). Разумеется, каждое из чисел Цепные дроби - реферат этой совокупы принадлежит точно одному изt +1 промежутков , , …, , из которых первыеt являются полусегментами, а последний сектором.

———— ———— ———— —————————————— ——————

0 1

Потому что чисел у нас t +2, то (согласно принципу Дирихле) непременно найдется таковой просвет, который содержит 2 числа из совокупы и 1. Разность этих 2-ух чисел не превосходит длину содержащего их промежутка, другими словами Цепные дроби - реферат .

1. Если такими числами являются и , то . Пусть и , . Потому что , то , ).

2. Если и 1 принадлежат одному промежутку, то

Пусть в таком случае , . Разумеется, и тут , так что , ).

Аксиома подтверждена.

Разглядим пример внедрения аксиомы Дирихле.

Отыскать рациональное приближение к с точностью до .

Решение: Разложим в цепную дробь.

=2 -2<1.

=(2, 4, 4, 4, …)=(2,(4)).

Находим подходящие дроби:

2 4 4 4 4 4
2 9 38 161 682
1 4 17 72 305 1929

Больший знаменатель, наименьший Цепные дроби - реферат чем 100, при =305. Разыскиваемая дробь равна ; .

2.4. Подходящие дроби как лучшие приближения.

Приближение подходящей дробью дает огромную точность при существенно наименьшем знаменателе, чем приближение десятичной дробью. Покажем это.

Округляя десятичное выражение реального до n –го знака после запятой, мы тем представляем приближенно дробью со знаменателем , при этом погрешность , если же Цепные дроби - реферат подходящая дробь к , то , так что при сколько-либо значительномq величина во много раз меньше, чем .

Пример: Десятичное выражение числа в виде рациональной дроби со знаменателем имеет вид . Если же разложить в цепную дробь, выходит =(3, 7, 15, …);

Большей подходящей дробью для со знаменателем является число , известное уже Архимеду, при этом . Итак Цепные дроби - реферат, мы получили, что приближение подходящей дробью дает огромную точность, чем приближение десятичной дробью.

Это разъясняется тем, что знаменатели подходящих дробей определяются арифметической природой изображаемого числа, а знаменатели же приближающих десятичных дробей не могут быть другими, как .

Аксиома: Если рациональное число поближе к реальному числу , чем его подходящая дробь Цепные дроби - реферат , где k >1, то , другими словами если , то .

Подтверждение: Разглядим случай, когда (по другому теряет смысл). Тогда всегда лежит меж хоть какими 2-мя следующими подходящими дробями так, что дляk >1 всегда лежит меж и , при этом поближе к , чем к . Потому, если поближе к , чем , то оно находится меж и . В Цепные дроби - реферат случае четного можно записать < < (в случае нечетногоk подтверждение значительно не изменяется), откуда , либо
, , откуда, домножая неравенство на , получаем . Потому что – число целое и положительное, то из предшествующего равенства следует , что и требовалось обосновать.

Попутно мы установили, что неважно какая рациональная дробь , принадлежащая интервалу , k >1, имеет знаменатель . Дляk =1 аксиома неверна Цепные дроби - реферат:

возможно окажется поближе к , чем его подходящая дробь , хотя .

Доказанная аксиома приводит нас к последующему определению:

Рациональную дробь именуют лучшим приближением реального , если неважно какая более близкая к рациональная дробь имеет больший знаменатель, чем , другими словами если из следует d >b .

Таким макаром, подходящие дроби являются лучшими приближениями, к примеру, Архимедово Цепные дроби - реферат число для является лучшим приближением.

Ранее мы обосновали, что для оценки погрешности , возникающей при подмене хоть какого реального его подходящей дробью , можно воспользоваться неравенством . Выразим этот итог по отношению к реальному иррациональному , имеющим нескончаемое огромное количество подходящих дробей, последующим образом: для хоть какого реального иррационального существует приc Цепные дроби - реферат =1 нескончаемое огромное количество несократимых дробей таких, что (1).

Такими дробями являются, к примеру, все подходящие дроби для .

Появляется вопрос: При каких наименьших значенияхc (чем c =1) существует для хоть какого реального иррационального нескончаемое огромное количество (несократимых) оптимальных приближений , погрешность которых .

Аксиома: Для хоть какого реального иррационального числа существует при нескончаемое огромное количество несократимых оптимальных Цепные дроби - реферат дробей таких, что ( ). Такими оптимальными дробями могут быть только подходящие дроби к .

Подтверждение: Докажем первую часть аксиомы. Разглядим две следующие подходящие дроби к и . Допустим, что ни одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству ( ). Тогда имеем: , . Отсюда .

Но потому что лежит меж и , то , вследствие чего Цепные дроби - реферат , либо , а это дляk >1 нереально. Мы пришли к противоречию, означает наше допущение ошибочно, а правильно то, что требуется обосновать.

Для подтверждения 2-ой части аксиомы докажем достаточный признак подходящей дроби к реальному числу : если , где Q >0, несократимая дробь и для реального имеет место неравенство ( ), то является подходящей дробью к .

Подтверждение: Покажем Цепные дроби - реферат, что если =( )= ( удовлетворяет условию аксиомы) подходящая дробь к , то соответственное остаточное число разложения данного в цепную дробь окажется >1. Вправду, , откуда следует , потому что .

Аксиома подтверждена на сто процентов.

Достаточный признак подходящей дроби не является ее нужным признаком; могут существовать подходящие дроби для , которые ему не удовлетворяют.

Крайнюю возможность уменьшенияc в обозначенном Цепные дроби - реферат ранее смысле выражает аксиома Гурвица-Бореля :

Аксиома: Для хоть какого реального иррационального числа существует при нескончаемое огромное количество несократимых оптимальных дробей таких, что производится неравенство (1), другими словами неравенство

, ( )

если же , то есть такие действительные иррациональные , для которых неравенство (1) имеет менее конечного числа оптимальных решений .

Подтверждение: Докажем первую часть Цепные дроби - реферат. Разложим в цепную дробь. Мы докажем, что из 3-х всех примыкающих подходящих дробей , i=k , k +1, k +2 по последней мере одна удовлетворяет условию .Подтверждение этого утверждения будем вести способом от неприятного. Представим, что для каких-то 3-х примыкающих подходящих дробей производятся неравенства:

, , (2)

и размещены по различные стороны от Цепные дроби - реферат и потому при нечетномk из (2) следует

,

а при четном: , так что и в том, и в другом случае имеем:

, либо, умножая на и перенося все члены в одну сторону , другими словами , , либо, так как и целые, . (3)

Потому что и также размещены по различные стороны от , из (2) аналогично получаем: . (4)

Пользуясь еще тем, что Цепные дроби - реферат из (3) и (4) получаем:

.

Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, потому по последней мере для одной из 3-х подходящих дробей , , , взятой в качестве , должно производиться неравенство ().

Придаваяk разные значения, получим нескончаемое огромное количество дробей, удовлетворяющих неравенству ( ).

Докажем вторую часть.

Представим, что при , неравенство (1) удовлетворяется Цепные дроби - реферат для нескончаемого огромного количества оптимальных чисел . Тогда для каждой таковой дроби неравенства , откуда, подставляя значение , получаем , а возводя в квадрат, получаем: . Потому что , то при довольно большенном Q будем иметь: и, как следует, целое число , =, что при целыхP иQ не может иметь места. Приобретенное противоречие указывает, что неравенство (1) может иметь место только Цепные дроби - реферат для конечного числа оптимальных чисел . Аксиома подтверждена на сто процентов.

Эта аксиома была размещена Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из 3-х примыкающих подходящих дробей по последней мере одна даст приближение вида , был подтвержден Борелем в 1903 году.

Последним аксиомам можно дать и другое очень принципиальное толкование.

Разглядим для Цепные дроби - реферат этого уравнение , где – хоть какое действительное иррациональное число. Исключая банальное решение x=y= 0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Но можно поставить задачку о приближенном его решении в целых числах, другими словами о нахождении таких пар чисел x (x >0) и y , чтоб:

либо .

Аксиома Цепные дроби - реферат Гурвица-Бореля указывает, что для всегда существует нескончаемое огромное количество таких пар; если же , то есть такие действительные числа, для которых таких пар имеется только конечное огромное количество.

Новенькая точка зрения получает в содружестве с способом Дирихле очень существенное применение в теории диофантовых приближений.

§ 3. Квадратические иррациональности и повторяющиеся цепные Цепные дроби - реферат дроби.

Оптимальные числа представляют собой корешки уравнений первой степени вида с целыми коэффициентами.

Во огромном количестве иррациональных чисел более ординарными являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа будем именовать квадратическими иррациональностями .

Число именуется квадратической иррациональностью, если – иррациональный корень некого уравнения (1) с целыми коэффициентами, не равными сразу Цепные дроби - реферат нулю.

При таком , разумеется, будет a 0, c 0. Коэффициентыa , b , c уравнения (1), разумеется, можно взять взаимно ординарными; в данном случае дискриминант этого уравнения будем именовать также дискриминантом . Корешки уравнения (1) равны и , так что всякую квадратическую иррациональность можно представить в виде , гдеP , Q – целые, аD (D >1) – целое неквадратное число Цепные дроби - реферат.

2-ой корень уравнения (1) будем именовать иррациональностью, сопряженной с .

В определении квадратической иррациональности в особенности принципиально направить внимание на то, что идет речь о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Хоть какое является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, к примеру уравнений , x - =0.

Примеры:

1) – квадратическая иррациональность, потому что является иррациональным Цепные дроби - реферат корнем уравнения .

2) – квадратическая иррациональность, потому что представляет собой иррациональный корень уравнения . Тут P =–1, Q =–3, D =5.

3) не является квадратической иррациональностью.

Вправду, корень хоть какого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид , где P , Q , D , при этом D >1. Если б мы имели = , то, возводя это равенство в куб Цепные дроби - реферат, мы получили бы, что – рациональное число, а как следует, оптимальным являлся бы и , а это не так.

Аксиома: Всякая повторяющаяся непрерывная дробь изображает квадратическую иррациональность.

Подтверждение: Пусть –смешанная повторяющаяся цепная дробь, другими словами , где – чисто повторяющаяся цепная дробь.

Обозначим подходящие дроби к и соответственно через и .

Потому что , то, согласно формуле Цепные дроби - реферат (5) из 1.1 этой главы, . Выполнив нужные преобразования, получаем: .

Из этой формулы видно, что удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Не считая того, - число иррациональное, потому что оно представляет нескончаемую непрерывную дробь. Таким макаром, - квадратическая иррациональность. Но по той же формуле , потому и является, разумеется, квадратической иррациональностью, что и требовалось обосновать.

Докажем Цепные дроби - реферат оборотную аксиому, которая носит имя Лагранжа.

Аксиома Лагранжа: Всякая действительная квадратическая иррациональность изображается повторяющейся непрерывной дробью.

Подтверждение: Пусть – действительный иррациональный корень квадратного уравнения (1) с целыми коэффициентами a , b , c .

При разложении в непрерывную дробь получаем (2), где – остаток порядка k +1.

Подставляя выражение из (2) в (1), получаем

(3), где

(4)

Отсюда, во-1-х, видно, что Цепные дроби - реферат (5), во-2-х, можно конкретным вычислением установить, что (6).

Таким макаром, дискриминант уравнения (3) таковой же, как и дискриминант уравнения (1), откуда следует, что он отk не зависит.

Мысль подтверждения в предстоящем состоит в том, чтоб показать, что при данном коэффициенты , , ограничены по модулю.

Если данный факт по сути имел бы место Цепные дроби - реферат, то это означало бы, что коэффициенты, будучи целыми числами, могут принимать только конечное число разных значений. Совместно с тем и число вероятных уравнений (3) было бы конечным, хотяk пробегает нескончаемое огромное количество значений. Но в таком случае и остатки (которые определяются из (3)), число которых нескончаемо, могли бы принять только Цепные дроби - реферат конечное число разных значений. Потому должны могли быть существовать остатки с схожими значениями, а это уже значит, что непрерывная дробь – повторяющаяся.

Итак, докажем, что , и ограничены по абсолютной величине. Довольно сделать это для , потому что в силу соотношения (5), из ограниченности уже как следствие вытекает ограниченность , а в силу Цепные дроби - реферат (6) – ограниченность .

Как понятно из параметров подходящих дробей, либо , где , откуда .

Потому из первого равенства (4) имеем

Потому что , то

,

другими словами и , а это и обосновывает ограниченность .

Этим и заканчивается подтверждение аксиомы Лагранжа.

Отметим без подтверждения последующие характеристики разложений квадратических иррациональностей:

1) при разложении квадратного корня и целого положительного числа, не являющегося полным квадратом Цепные дроби - реферат, период начинается со второго звена;

2) чисто повторяющаяся цепная дробь выходит и тогда только тогда, когда квадратическая иррациональность больше 1, а сопряженная иррациональность лежит в интервале (-1; 0) (это свойство было подтверждено Э. Галуа в 1828 году. Он обосновал также, что в случае чисто повторяющегося разложения сопряженная квадратическая иррациональность имеет те же элементы, но расположенные в Цепные дроби - реферат оборотном порядке).

Примеры:

1. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в повторяющуюся цепную дробьx и отыскать подобающую иррациональность x =((2, 6, 1)).

Решение: x =(2, 6, 1, x ).

Составляем схему вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей.

2 6 1 x
1 2 13 15 15x +13
0 1 6 7 7x +6

Итак, , откуда получаем: .

Положительное решение этого уравнения дает разыскиваемую повторяющуюся дробь.

((2, 6, 1))= - квадратическая иррациональность Цепные дроби - реферат. Заметим, что >1, а – иррациональность, сопряженная сx – лежит в интервале (-1; 0).

2. Составить уравнение, один из корней которого разлагается в повторяющуюся цепную дробьx =(3, (2, 1)) и отыскать подобающую иррациональность.

Решение x =(3, y ), где y =(2, 1, y ). Составляем схему для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей y :

2 1 y
1 2 3 3y +2
0 1 1 y +1

Как следует, , . Потому что y >0, то мы Цепные дроби - реферат должны взять положительный корень этого уравнения . Потому дляx имеем . Таким макаром, разыскиваемая дробь (3, (2, 1))= . Для соответственного квадратного уравнения имеем , откуда получаем: .

§4. Представление реальных чисел цепными дробями вида.

Рассмотренные до сего времени правильные нескончаемые и конечные цепные дроби являются личным случаем бесокнечных и конечных цепных дробей вида:

(1),

когда в их Цепные дроби - реферат принимается, что все , , а другие .

В общем случае элементы цепной дроби и ,k >1 могут принимать произвольные, хорошие от 0 оптимальные значения, а может также быть равно нулю.

С помощью цепных дробей вида одно и то же рациональное число можно представить разными методами. К примеру, .

В цепной дроби (1), которую записывают также по Цепные дроби - реферат другому, к примеру, ( ) либо ( ) числа и (k =2, 3, …) именуют звеньями, и – членами k –го звена, из их – личным числителем, а – личным знаменателем.

Чтоб получить разложение оптимального числа в конечную цепную дробь (1), можно все и , кроме 1-го, избрать произвольно.

Можно, к примеру, отыскать разложение ; для этого следует положить . Можно цепную дробь Цепные дроби - реферат конвертировать так, чтоб все были равны 1, другими словами, чтоб (1) приняло вид (2).

Так, к примеру, . Дроби вида (2) именуют обычными цепными дробями , а , , …, – их неполными личными. Правильные цепные дроби можно потому найти как простые цепные дроби с целыми положительными неполными личными, начиная с , при этом может быть хоть каким целым числом Цепные дроби - реферат.

Правильные цепные дроби являются более ординарными и более изученными посреди цепных дробей вида, но и другие цепные дроби играют огромную роль и имеют принципиальные внедрения, к примеру, в приближенном анализе, где при их помощи без сложных выкладок получают дробно-рациональные приближения функций.

Разглядим обзорно некие характеристики цепных дробей вида.

Происхождение Цепные дроби - реферат таких цепных дробей связано с обобщенным методом Евклида.

Если мы имеем систему равенств , , , … с случайными оптимальными числами, то при b , c , d 0, из их следуют равенства , , , …, так что, подставляя по цепочке, получаем .

k -я подходящая дробь определяется для по формуле при условии, что , , , .

Пользуясь ею, найдем, к примеру, подходящие дроби Цепные дроби - реферат для разложения . Имеем = , , , , , . Заметим, что получаемые в процессе рекуррентного вычисления подходящие дроби могут быть сократимыми, но сокращать их можно только при определенных критериях.

Характеристики подходящих дробей цепных дробей вида с положительными элементами и правильных цепных дробей полностью подобны.

Нескончаемая цепная дробь (1) именуется сходящейся , если существует конечный предел ; в Цепные дроби - реферат таком случае принимается за значение этой дроби. Не всегда общие нескончаемые цепные дроби являются сходящимися, даже тогда, когда они имеют только положительные элементы.

Существует ряд признаков сходимости цепных дробей:

Пусть дана непрерывная дробь вида

, где ,

1) Пусть , все члены последовательностей , действительные числа и для всех , начиная с некого. Если для такихk производится Цепные дроби - реферат неравенство , то цепная дробь сходится.

2) Пусть и все члены последовательности , начиная сk =2 положительны. Тогда цепная дробь сходится и тогда только тогда, когда ряд расползается (аксиома Зейделя).

Увлекательной особенностью цепных дробей вида будет то, что даже оптимальные числа могут ими распадаться в нескончаемые цепные дроби. К примеру, имеется Цепные дроби - реферат разложение

= , , , , , …

0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …

Броско то, что квадратические иррациональности распадаются и в непериодические цепные дроби вида.

К примеру, имеется разложение

= , , , , , , , …

1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; …

Но самое увлекательное и принципиальное это то, что в то время как по сей день непонятно разложение в правильную цепную дробь ни одной алгебраической иррациональности степени выше 2-ой (другими словами, неопознаны общие характеристики неполных личных таких Цепные дроби - реферат разложений, разложения сами по для себя со сколь угодной точностью можно фактически отыскать), с помощью общих цепных дробей такие разложения находятся достаточно просто. Отметим, к примеру, некие разложения и надлежащие подходящие дроби для :

= , , , , , , …

1,33; 1,22; 1,284.

= , , , , , , …

1,17; 1,25; 1,258; 1,2596; …

Приведем еще несколько примеров разложений других иррациональностей в цепные дроби вида:

= , , , , , , …

Эта цепная Цепные дроби - реферат дробь для была найдена еще больше 300 годов назад английским математиком Брункером.

= , , , , , , ,

В 1776 году И. Ламберт отыскал разложениеtg x в цепную дробь:tg x =

А. Лежандр в предположении, что эта цепная дробь сходится, показал, что ее значение для оптимальных значенийx иррационально. Принято считать, что тем была подтверждена иррациональность числа .

Л. Эйлер Цепные дроби - реферат отыскал, что: =(1; 6, 10, 14, …). Также Эйлер отыскал разложение в цепную дробь числа e . e =(2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …), другими словами элементы разложенияe в цепную дробь имеют вид:

, ,

Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) отыскал разложение числа в виде цепной дроби.

1-ые 25 неполные личные разложения числа в правильную цепную дробь есть числа:

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1.

Решение задач

1. Записать в Цепные дроби - реферат виде конечной цепной дроби

a) ; b) ; c) 2,98976; d)

Решение:

a) =(0, 2, 15);

b) =(3, 7, 15, 1, 292);

c)2,98976= =(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10);

d) =–(2, 1, 30, 2)=(-2, 1, 30, 2)

2. Разложить ординарную дробь в цепную дробь и отыскать ее подходящие дроби.

a) ; b) ; c) ; d)

Решение:

a) =(3, 2, 1, 24);

Находим подходящие дроби:

3 2 1 24
1 3 7 10 247
0 1 2 3 74

= ; = ; =

b) =(3, 3, 33);

3 3 33
1 3 10 333
0 1 3 100

= ; =

c) = =(3, 7, 15, 1, 292);

3 7 15 1 292
1 3 22 333 355 103993
0 1 7 106 113 33102

= ; = ; = ; =;

d) =(0, 2, 2, 3);

0 2 2 3
1 0 1 2 7
0 1 2 5 17

= ; = ; =.

3. Уменьшить дробь

a) ; b) ; c)

Решение: a) ;

Разложим ее в конечную цепную дробь и найдем последнюю подходящую дробь Цепные дроби - реферат для нее.

=(4, 1, 1, 6)

= ; = ; = ; =

Дробь несократима и = .

b) =(0, 3, 3, 1, 6, 1, 3, 2)

; = ; = ; = ; = ; = ; = ; =

Дробь несократима =.

c) =(1, 1, 2, 2, 32)

; = ; = ; = ; = - несократима =.

4. Найдите 1-ые четыре подходящие дроби разложения в цепную дробь числа =3,14159265…

; = ; = ; =

Ответ: ; ; ; .

5. Преобразуйте в обычную дробь последующие цепные дроби: a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5); b) (2, 3, 1, 6, 4); c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5);

d) (0, 3, 1, 2, 7).

Решение: a) (2, 1, 1, 2, 1, 6, 2, 5)=

Составим таблицу подходящих дробей:

2 1 1 2 1 6 2 5
2 3 5 13 18 121 260 1421
1 1 2 5 7 47 101 552

Ответ: =

b) (2, 3, 1, 6, 4)=

2 3 1 6 4
2 7 9 61 253
1 3 4 27 112

Ответ: =

c) (1, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 1, 5)

1 3 2 4 3 1 1 1 5
1 4 9 40 129 169 298 467 2633
1 3 7 31 100 131 231 362 2041

Ответ: =

d) (0, 3, 1, 2, 7)=

0 3 1 2 7
0 1 1 3 22
1 3 4 11 81

Ответ: =

6. Разложить в Цепные дроби - реферат цепную дробь и поменять подходящей дробью с точностью до 0,001 последующие числа:

a) ; b) ; c) ; d) .

Решение: a) = . Выделим из его целую часть: , а дробную часть -2, которая <1, представим в виде , где . Повторяя эту операцию выделения целой части и переворачивания дробной, получаем:

;

;

.

Мы получили, что , как следует, неполные личные, начиная с будут повторяться Цепные дроби - реферат и =(2, (4)).

Составим таблицу подходящих дробей:

2 4 4 4
2 9 38
1 4 17 72

Нам нужно отыскать такую подходящую дробь , чтоб . Разумеется, что это , потому что 17·72>1000.

Ответ: .

b) = ; =5

;

;

;

;

;

.

Мы получили неполные личные, начиная с будут повторяться и =(5, (1, 1, 1, 10)).

5 1 1 1 10 1
5 6 11 17 181 198
1 1 2 3 32 35

, потому что 32·35>1000. Ответ: .

c) =(3, 2, 5, 2, 7, 2);

3 2 5 2 7 2
3 7 38 83 619 1321
1 2 11 24 179 382

, потому что 24·179>1000.

Ответ: .

d) = ; =1

;

;

;

=((1, 2))

1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 3 4 11 15 41 56 153
1 2 3 8 11 30 41 102

, потому что 30·41>1000.

Ответ: .

7. Отыскать действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби:

a Цепные дроби - реферат) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))

Решение:

a) (4, (3, 2, 1)) - смешанная повторяющаяся дробь.

, другими словами , где

x =((3, 2, 1)) - чисто повторяющаяся цепная дробь. Потому что выражение, начинающееся с 4-ого неполного личного 3, имеет тот же вид:

, то мы можем записать x =(3, 2, 1, x )= = , после этого приходим к квадратному уравнению относительно x :

D= 64+12·7=148 .

Положительное решение и есть x . . Найдем .

=4+ =

Ответ Цепные дроби - реферат: .

b) ((2, 1))=

=(2, 1, )

На данный момент мы можем отыскать таким же методом, как и в задачке a), но можно решить задачку легче. Составим таблицу подходящих дробей:

2 1
2 3 3 +2
1 1 +1

=

D =4+4·2=12

Положительное решение и есть разыскиваемое .

Ответ: .

8. Решить в целых числах уравнения:

a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53.

Решение:

a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение Цепные дроби - реферат.

(143, 169)=13(НОД находим при помощи метода Евклида)

уравнение решений не имеет.

Ответ: .

b) 2x+5y=7

(2, 5)=1 уравнение имеет решение в целых числах.

Разложим в цепную дробь. =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. ; ;

На основании характеристики подходящих дробей получим

2·2-1·5 =(-1)3 либо 2·2+5(-1)=-1

2·(-14)+5·7=7, другими словами – личное решение.

Все решения могут быть найдены по формулам

либо

c Цепные дроби - реферат) 23x +49y =53

(23, 49)=1 есть целые решения.

=(0, 2, 7, 1, 2)

, , , ,

17·23-8·49=(-1)5

23·17+49·(-8)=-1

23·(-901)+49·424=53

либо

9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно 11, а 2-ое – 17.

Решение: Пусть 11x – 1-ое число 11x>0 x>0;17y - 2-ое число 17y>0 y>0.

Тогда 11x+17y=150

(11, 17)=1 есть решения.

(11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5)

0 1 1 1 5
0 1 1 2 11
1 1 2 3 17

11·3-2·17=(-1)5 =–1

11·3+17·(-2)=-1

11·(-450)+17·300=150

x=-450+27·17=9 99 - 1-ое число

y=300-11·27=3 51 - 2-ое число.

Ответ: 99; 51.

10. Решить уравнения Пелля:

a) b)

Решение:

a)

Представим Цепные дроби - реферат в виде цепной дроби:

=(5, (10)).

Количество чисел в периоде нечетное (одна) =(5; 10)= .

- меньшее положительное решение.

Ответ: x=51, y=10.

b)

=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8))

Количество чисел в периоде четное (6)

4 2 1 3 1 2
4 9 13 48 61 170
1 2 3 11 14 39

Ответ: x=170, y=39.

Заключение

Данная курсовая работа указывает значение цепных дробей в арифметике.

Их можно удачно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c. Основная трудность при решении таких уравнений Цепные дроби - реферат заключается в том, чтоб отыскать какое-нибудь его личное решение. Итак вот, при помощи цепных дробей можно указать метод для разыскания такового личного решения.

Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, к примеру, так именуемого уравнения Пелля:

( ).

Нескончаемые цепные дроби могут быть применены Цепные дроби - реферат для решения алгебраических и непознаваемых уравнений, для резвого вычисления значений отдельных функций.

В текущее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить действенные методы для решения ряда задач на ЭВМ.

Литература:

1. М.Б. Балк, Г.Д. Балк. Математика после уроков. М, «Просвещение», 71.

2. А Цепные дроби - реферат.А. Бухштаб. Теория чисел. М, «Просвещение», 96.

3. Алгебра и теория чисел. Под редакцией Н.Я. Виленкина, М, «Просвещение», 84.

4. И.М. Виноградов. Базы теории чисел. М, «Наука», 72.

5. А.А. Кочева. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. М, «Просвещение», 84.

6. Л.Я. Куликов, А.И. Москаленко, А.А. Фомин. Сборник задач по алгебре и Цепные дроби - реферат теории чисел. М, «Просвещение», 93.

7. Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Алгебра и теория чисел. М, «Просвещение», 74.

8. Математическая энциклопедия, том V, М, «Советская энциклопедия», 85.

9. Ш.Х. Михелович. Теория чисел. М, «Высшая школа», 67.


cepi-pitaniya-psn-210-3-i-asinhronnih-elektrodvigatelej-vspomogatelnih-mashin.html
cepi-s-raspredelennimi-parametrami-tipi-linii-peredach.html
cepi-upravleniya-elektricheskim-tormozom.html